2012年2月14日火曜日

方べきの定理

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非常に素晴らしい記事を読みました。

人前で話すのは、とても大きなチャンスだということ - iPhoneと本と数学となんやかんやと

大好きなブログです。
全体の内容も素晴らしかったのですが、特に感銘を受けたのはこの部分です。
そのとき同時に考えていたのが、数学について書いていくことで「楽しくなけりゃ数学じゃないじゃん」というぼくの数学に対する考え、思いに賛同してくれる方を増やしたい。手を組んでどうにか数学の「嫌いな科目No.1」という汚名を晴らしていきたいということ。
思いに賛同、します。
微力ながら私も本ブログで、少しずつ数学について触れてみたいと考えます。

しかし私は本格的に数学を学んだことはないので、あまりきちんとした解説などは行えません。そのため、本当の数学屋さんが聞いたら怒られてしまうようなことを書くかもしれませんが、私も数学が(得意ではないけど、)好きということでご容赦いただきたいです。


数学の話


(私の時代だと)センター試験の「数学Ⅰ・A」の大問3に、図形の問題があります。
円と三角形が組み合わさっていて、線分の長さや角度などを求める問題です。

この問題、前半部分は正弦定理と余弦定理を公式通りに使えば解けます。外接円の半径を問われることもありますが、これも正弦定理そのままです。
ここまではいいです。

それから、大問の最終盤には難しい問題が来ますが、そこは割と、余弦定理を変形したり、三角形の相似比を利用したりして解けてしまったりします。

しかし問題になるのが、たまに、大問の真ん中より少し後ろあたりに、後にも先にも使われないような突拍子もない線分の長さを問われることがあることです。
この問題が、それまでの正弦定理や余弦定理などのアプローチでも、二等分線などの図形的なアプローチでも、解けません。

おそらくこれをお読みの方は薄々気づいていると思いますが、ここには方べきの定理が登場します。
不思議なもので、言われてみるとどう見ても方べきの定理を使う場面なのですが、それに思い至らないのです。


チェックリスト


ただここで私が強調したいのは、上記のことをもって「自分にはそういうひらめきがないから数学は苦手だ」などは早計だということです。
本当の意味で、上記の場面で方べきの定理をひらめくことができる人はそういません。天才のことはわかりませんが、少なくとも私には無理です。

この部分に、チェックリストを用いる余地があります。
線分の長さを求めることで言えば、例えばノートか何かに、
  • 方べきの定理で解けないか確認する
という項目を作成し、実際に問題を解く際にそれを思い出すのです。これで再度似たような状況に直面しても迷うことはありません。

テスト前にはそのノートを見返しても良いかもしれませんね。


数学の勉強


そう考えると数学の勉強とは、チェックリストの精度を上げていくことと等価になります。
「チェックリストの精度を上げる」とはどういうことかを説明するのは難しいのですが、

『アナタはなぜチェックリストを使わないのか?』(アトゥール ガワンデ (著), 吉田 竜 (翻訳))

を読んでいただければ間違いありません。

チェックリストの精度が一つ良くなるごとに、数学に対しての武器を一つ手に入れたことになります。より良い武器が手に入れば、天才と互角に戦うことだってできるはずです。


終わりに


数学は、「諦めなければ、できる」を示す最高の実例だと思っています。